2014年全国卷2理科数学试题及答案

 时间:2014-07-01 12:03:28 贡献者:孙启富

导读:2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 M={0,1,2

智康1对1:2014年新课标全国卷ii数学理科试题答案解析
智康1对1:2014年新课标全国卷ii数学理科试题答案解析

2014 年普通高等学校招生全国统一考试 理科(新课标卷二Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.设集合 M={0,1,2} ,N= x | x2  3x  2≤0 ,则 M  N =( A. {1} 【答案】D 【解析】 B. {2} C. {0,1} ) D. {1,2}把 M={0,1,2}中的数,代入不等式 x 2 - 3x + 2 ≤0, 经检验 x=1,2 满足。

所以选 D.2.设复数 z1 , z2 在复平面内的对应点关于虚轴对称, z1  2  i ,则 z1 z2  ( A. - 5 【答案】B 【解析】 B. 5 C. - 4+ i D. - 4 - i) z1 = 2 + i, z1与z2关于虚轴对称, ∴ z2 = -2 + i, ∴ z1 z2 = -1 - 4 = -5, 故选B.3.设向量 a,b 满足|a+b|= 10 ,|a-b|= 6 ,则 a  b = ( A. 1 【答案】A 【解析】 B. 2 C. 3) D. 5| a + b |= 10, | a - b |= 6,, ∴ a + b + 2ab = 10, a + b - 2ab = 6, 联立方程解得 ab = 1, 故选A.4.钝角三角形 ABC 的面积是 1 ,AB=1,BC= 2 ,则 AC=( ) D. 122222A. 5 【答案】B 【解】B.5C. 2

1 1 1 2 ac sin B = • 2 • 1• sin B = ∴ sin B = , 2 2 2 2 π 3π π ∴ B = , 或 .当B = 时,经计算ΔABC为等腰直角三角形,不 符合题意,舍去。

4 4 4 3π ∴ B = ,使用余弦定理, b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos B, 解得b = 5.故选B. 4  S ΔABC =5.某地区空气质量监测资料表明, 一天的空气质量为优良的概率是 0.75, 连续两为优良的概率是 0.6, 已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 ( ) A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 【答案】 【解析】 A设某天空气质量优良, 则随后一个空气质量也 优良的概率为 p, 则据题有0.6 = 0.75• p, 解得p = 0.8, 故选A.6.如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件 由一个底面半径为 3cm,高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的 比值为( ) A.17 27CB. 59C. 1027D.1 3【答案】 【解析】 加工前的零件半径为 3,高6, ∴体积v1 = 9π • 6 = 54π.  加工后的零件,左半部 为小圆柱,半径 2,高4,右半部为大圆柱,半 径为3,高为2. ∴体积v2 = 4 π • 4 + 9π • 2 = 34π. ∴削掉部分的体积与原体 积之比= 54π - 34π 10 = .故选C. 54π 27)7.执行右图程序框图,如果输入的 x,t 均为 2,则输出的 S= ( A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】 C 【解析】

x = 2, t = 2, 变量变化情况如下: M S K 1 2 2 故选C.8.设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a= A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 【解析】 D3 5 71 2 3 f ( x) = ax - ln(x + 1),∴ f ′( x) = a -1 . x+1 ∴ f (0) = 0, 且f ′(0) = 2.联立解得a = 3.故选D. x  y  7≤0  9.设 x,y 满足约束条件  x  3 y  1≤0 ,则 z  2 x  y 的最大值为( 3 x  y  5≥0 A. 10 【答案】 【解析】 B. 8 B C. 3 D. 2)画出区域,可知区域为 三角形,经比较斜率, 可知目标函数 z = 2 x - y在两条直线x - 3 y + 1 = 0与x + y - 7 = 0的交点(5,2)处, 取得最大值z = 8.故选B.10.设 F 为抛物线 C: y 2  3x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点, 则△OAB 的面积为( ) A.3 3 4DB.9 3 8C.63 32D. 94【答案】 【解析】

设点A、B分别在第一和第四象限 ,AF = 2m, BF = 2n,则由抛物线的定义和 直角三角形知识可得, 3 3 3 3 2m = 2 • + 3m,2n = 2 • - 3n,解得m = (2 + 3 ), n = (2 - 3 ),∴ m + n = 6. 4 4 2 2 1 3 9 ∴ S ΔOAB = • • (m + n) = .故选D. 2 4 411.直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BCA=90°,M,N 分别是 A1B1,A1C1 的中点,BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为( )A. 110B. 25C.30 10D.2 2【答案】 【解析】 C如图,分别以 C1 B1,C1 A1,C1C为X , Y , Z轴,建立坐标系。

令 AC = BC = C1C = 2, 则 A(0,2,2), B(2,0,2), M (1,1,0), N (0,1,0).∴ BM = ( - 1,1, - 2), AN = (0, - 1, - 2)。

cosθ = BM • AN | BM | • | AN | = 0 - 1+ 4 30 = .故选C. 10 6 52 12.设函数 f  x   3 sin  x .若存在 f  x  的极值点 x0 满足 x0 2    f  x0     m ,则 m 的取值范 m 2围是( A.) , 6   6, B. , 4   4, C. , 2   2, D.  , 1  4,   【答案】 【解析】 C

 f ( x) = 3 sinπx |m| 的极值为± 3,即[ f ( x0 )]2 = 3, | x0 |≤ , m 2 m2 m2 2 ∴ x0 + [ f ( x0 )]2 ≥ + 3, ∴ + 3 < m 2 , 解得 | m |> 2.故选C. 4 4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题, 每个试题考生必须做答.第 22 题 ~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二.填空题 13.  x  a  的展开式中, x 7 的系数为 15,则 a=________.(用数字填写答案)10【答案】 【解析】1 21 1 3 7 3 3 3  C10 x a = 15x 7 ∴ C10 a = 15, a = .故a = . 2 214.函数 f  x   sin  x  2   2sin  cos  x    的最大值为_________. 【答案】 【解析】 1 f ( x) = sin(x + 2φ) - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) • cosφ + cos(x + φ) • sin φ - 2 sin φ cos(x + φ) = sin(x + φ) • cosφ - cos(x + φ) • sin φ = sin x ≤ 1.∴ 最大值为 1.15. 已 知 偶 函 数 f  x  在 0,  单 调 递 减 , f  2  0 . 若 f  x 1  0 , 则 x 的 取 值 范 围 是 __________. 【答案】 【解析】(-∞ , -1 ) ∪ (3, +∞ ) 偶函数y = f ( x)在[0,+ ∞)上单增,且f (2) = 0 ∴ f ( x) > 0的解集为| x |> 2. ∴ f ( x - 1) > 0的解集为| x - 1 |> 2,解得x ∈ (-∞, - 1) ∪ (3, + ∞) . 故解集为| x - 1 |> 2,解得x ∈ (-∞ , - 1) ∪ (3, +∞ ) .

16.设点 M( x0 ,1) ,若在圆 O: x 2  y 2  1上存在点 N,使得∠OMN=45°,则 x0 的取值范围是 ________. 【答案】 【解析】[-1,1]在坐标系中画出圆 O和直线y = 1,其中M(x0 ,1)在直线上 . 由圆的切线相等及三角 形外角知识,可得 x 0 ∈[-1,1].故x 0 ∈[-1,1].三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 an  满足 a1 =1, an1  3an  1 . (Ⅰ)证明 an  1 是等比数列,并求 an  的通项公式;2(Ⅱ)证明: 1  1  …+ 1  3 .a1a2an2【答案】 【解析】 (1)(1) 无(2) 无 a1 = 1, an+1 = 3an + 1.n ∈ N * . 1 1 1 = 3an + 1+ = 3(an + ). 2 2 2 1 1 3 ∴{an + }是首项为a1 + = , 公比为3的等比数列。

2 2 2 ∴ a n+1 +(2)1 3n 3n - 1 1 2 由(1)知,an + = ,∴ an = , = n . 2 2 2 an 3 - 1 1 1 2 1 = 1, 当n > 1时, = n < n-1 . a1 an 3 - 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - 3n 3 1 3 ∴ + + + + < 1+ 1 + 2 + + n-1 = = ( 1- n ) < . 1 2 a1 a2 a3 an 3 3 3 3 2 13 1 1 1 1 3 所以, + + + + < ,n ∈ N * (证毕) . a1 a2 a3 an 218. (本小题满分 12 分)

如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为矩形,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面 AEC; (Ⅱ)设二面角 D-AE-C 为 60°,AP=1,AD= 3 ,求三棱锥 E-ACD 的体积.【答案】 (1) 无 (2) 无 【解析】 (1) 设 AC 的中点为 G, 连接 EG。

在三角形 PBD 中,中位线 EG//PB,且 EG 在平面 AEC 上,所以 PB// 平面 AEC. (2)设 CD=m, 分别以 AD,AB,AP 为 X,Y,Z 轴建立坐标系,则3 1 ,0, ), C ( 3 , m,0). 2 2 3 1 ∴ AD = ( 3 ,0,0), AE = ( ,0, ), AC = ( 3 , m,0). 2 2 A(0,0,0), D( 3 ,0,0), E ( 设平面ADE法向量为n1 = ( x1 , y1 , z1 ), 则n1 AD = 0, n1 AE = 0, 解得一个n1 = (0,1,0). 同理设平面ACE法向量为n2 = ( x2 , y2 , z 2 ),则n2 AC = 0, n2 AE = 0, 解得一个n2 = (m,- 3 ,- 3m). π | n2 • n2 |  cos =| cos< n2 , n2 >|= = 3 | n2 | • | n2 | 3 m 2 + 3 + 3m 2 EF 1 设F为AD的中点,则PA // EF , 且PA = = , EF ⊥ 面ACD, 2 2 1 1 1 3 1 3 即为三棱锥E - ACD的高.∴VE - ACD = • S ΔACD • EF = • • • 3 • = . 3 3 2 2 2 8 3 所以,三棱锥E - ACD的体积为 。

8 = 1 3 , 解得m = . 2 2

19. (本小题满分 12 分) 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y(单位:千元)的数据如下表: 年份 年份代号 t 人均纯收入 y 2007 1 2.9 2008 2 3.3 2009 3 3.6 2010 4 4.4 2011 5 4.8 2012 6 5.2 2013 7 5.9(Ⅰ)求 y 关于 t 的线性回归方程; (Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情 况,并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为:b  t  t  y  y i 1 i in ti 1nit2ˆ ˆ  y  bt ,a【答案】 【解析】 (1)(1)y = 0.5t + 2.3.(2) 约 6800 元t =1 + 2 + + 7 2.9 + 3.3+ 3.6 + 4.4 + 4.8 + 5.2 + 5.9 = 4, y = = 4.3 7 7 设回归方程为y = bt + a, 代入公式,经计算得 3 *14+ 2 + 0.7 + 0 + 0.5 + 1.8 + 4.8 14 1 = = , (9 + 4 + 1) * 2 14* 2 2 1 a = y - bt = 4.3 - * 4 = 2.3 2 所以,y关于t的回归方程为y = 0.5t + 2.3. b=1 > 0,∴ 2007 年至2013 年该区人均纯收入稳步 增长,预计到 2015 年, 2 该区人均纯收入 y = 0.5 • 9 + 2.3 = 6.8(千元) 所以,预计到 2015 年,该区人均纯收入约 6千8百元左右。

b =20. (本小题满分 12 分)2 x2 y 设F 1 , F2 分别是椭圆 2  2  1 a  b  0  的左右焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直,直线ab

MF1 与 C 的另一个交点为 N.(Ⅰ)若直线 MN 的斜率为 3 ,求 C 的离心率;4(Ⅱ)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且 MN  5 F 1 N ,求 a,b.【答案】 【解析】 (1)(1)1 2(2) a = 7, b = 2 7MF 3 b 2 1 3 由题知, 1 = ∴ • = , 且a 2 = b 2 + c 2 .联立整理得: 2e 2 + 3e - 2 = 0, F1 F2 4 a 2c 4 1 1 解得e = .∴ C的离心率为 . 2 2(2)由三角形中位线知识可 知,MF2 = 2 • 2,即b2 = 4. a 设F1 N = m,由题可知MF1 = 4m.由两直角三角形相似, 可得 3 M , N两点横坐标分别为 c,- c.由焦半径公式可得: 2 3 c MF1 = a + ec, NF1 = a + e(- c),且MF1 : NF1 = 4 : 1, e = , 2 a a 2 = b 2 + c 2 .联立解得a = 7, b = 2 7 . 所以,a = 7, b = 2 721. (本小题满分 12 分) 已知函数 f  x  = e x  e  x  2 x (Ⅰ)讨论 f  x  的单调性; (Ⅱ)设 g  x   f  2x   4bf  x  ,当 x  0 时, g  x   0 ,求 b 的最大值; (Ⅲ)已知 1.4142 2  1.4143,估计 ln2 的近似值(精确到 0.001)

【答案】 【解析】 (1)(1)f ( x)在R上单增(2) 2 f ( x) = e x - e- x - 2 x,x ∈ R ∴ f ′( x) = e x + e- x - 2 = e x + 所以,f ( x)在R上单增 .(2)1 1 -2 ≥ 2 e x • x - 2 = 0. x e eg ( x) = f (2 x) - 4bf ( x) = e 2 x - e -2 x - 4 x - 4b(e x - e - x - 2 x) > 0, x > 0. 令h( x) = e 2 x - e -2 x - 4 x - 4b(e x - e - x - 2 x), x > 0, 则h(0) = 0. h′( x) = 2e 2 x + 2e -2 x - 4 - 4b(e x + e - x - 2), ∴∃x∈ (0,m),m > 0,使h′( x) ≥ 0. 即2e 2 x + 2e -2 x - 4 - 4b(e x + e - x - 2) ≥ 0 即e 2 x + e -2 x - 2 - 2b(e x + e - x - 2) ≥ 0. 同理,令m( x) = e 2 x + e -2 x - 2 - 2b(e x + e - x - 2),x ∈ (0,m),m > 0, 则m(0) = 0. m′( x) = 2e 2 x - 2e -2 x - 2b(e x - e - x ), ∴∃x∈ (0,t ),t > 0,使m( x) ≥ 0. 即2e 2 x - 2e -2 x - 2b(e x - e - x ) ≥ 0,即(e x + e - x )(e x e - x ) - b (e x - e - x ) ≥ 0且e x - e - x > 0, 即e x + e - x ≥ b,即e x + e - x > 2 e x • e - x = 2 ≥ b,所以b的最大值为2(3)设x = ln 2 > 0, 则f (ln 2 ) > 0,即f (ln 2 ) = 2 解得 ln 2 <1 2 - 2 ln 2 = - ln 2 > 0. 2 22 .由(2)知,f (2 x) > 8 f ( x),令x = ln 2 > 0, 则f (2 ln 2 ) > 8 f (ln 2 ), 2 1 1 即f (ln 2) > 8 f (ln 2 ),即2 - - 2 ln 2 > ( 8 2- 2 ln 2 ), 解得 2 2 3 2 1 2 1 2 6 ln 2 > 4 2 - ,即ln 2 > 2 - .所以 2 - < ln 2 < . 2 3 4 3 4 2请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,同按所做的第一题计分,做答时请写清题 号. 22.(本小题满分 10)选修 4—1:几何证明选讲 如图,P 是 O 外一点,PA 是切线,A 为切点,割线 PBC 与 O 相交 于点 B, C, PC=2PA, D 为 PC 的中点, AD 的延长线交 O 于点 E.证明: (Ⅰ)BE=EC; (Ⅱ)AD  DE=2 PB 2

【答案】 【解析】 (1)(1) 无(2)无 PC = 2 PA, PD = DC, ∴ PA = PD,Δ PAD为等腰三角形。

连接AB, 则∠PAB = ∠DEB = β ,∠BCE = ∠BAE =α . ∠PAB+ ∠BCE = ∠PAB+ ∠BAD = ∠PAD = ∠PDA = ∠DEB + ∠DBE ∴β + α = β + ∠DBE,即α = ∠DBE,即∠BCE = ∠DBE,所以BE = EC.(2) AD • DE = BD • DC, PA2 = PB • PC, PD = DC = PA, ∴BD • DC = (PA- PB)PA= PB • PC - PB• PA = PB( • PC - PA) PB • PA = PB • 2 PB = PB223. (本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点, x 轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为  2cos  , .   0,  2(Ⅰ)求 C 的参数方程; (Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线 l : y  3x  2 垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方 程,确定 D 的坐标.所以 D 点坐标为 (1 3 1 3 1 , ) 或 (1  , ) 。

2 2 2 2

24. (本小题满分 10)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f  x  = x  1  x  a (a  0)a(Ⅰ)证明: f  x  ≥ 2; (Ⅱ)若 f  3  5 ,求 a 的取值范围.

 
 

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